История
Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам . В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации . К числу таких систем относится десятичная система счисления , возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.
Определения
Позиционная система счисления определяется целым числом b > 1 {\displaystyle b>1} , называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b {\displaystyle b} также называется b {\displaystyle b} -ичной (в частности, двоичной , троичной , десятичной и т.п.).
x = ∑ k = 0 n − 1 a k b k {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}} , где a k {\displaystyle \ a_{k}} - это целые числа, называемые цифрами , удовлетворяющие неравенству 0 ≤ a k ≤ b − 1. {\displaystyle 0\leq a_{k}\leq b-1.} x = a n − 1 a n − 2 … a 0 . {\displaystyle x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.}В ненулевых числах x {\displaystyle \ x} начальные нули обычно опускаются.
Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и, затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т.д., иногда x = 10.
При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:
123 10 {\displaystyle 123_{10}} - это число 123 в десятичной системе счисления ; 173 8 {\displaystyle 173_{8}} - то же число в восьмеричной системе счисления ; 1111011 2 {\displaystyle 1111011_{2}} - то же число, но в двоичной системе счисления ; 0001 0010 0011 10 = 000100100011 B C D {\displaystyle 0001\ 0010\ 0011_{10}=000100100011_{BCD}} - то же число, но в десятичной системе счисления с двоичным кодированием десятичных цифр (BCD); 11120 3 N {\displaystyle 11120_{3N}} - то же число, но в несимметричной троичной системе счисления ; 1 i i i i 0 3 S = 177770 3 S = 122220 3 S = + − − − − 0 3 S {\displaystyle 1iiii0_{3S}=177770_{3S}=122220_{3S}=+----0_{3S}} - то же число, но в симметричной троичной системе счисления , знаки «i», «7», «2» и «−» обозначают «−1», знаки «1» и «+» обозначают «+1».В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:
- в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от h exadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);
- в Паскале знаком «$» в начале числа;
- в Си и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от hex adecimal) в начале.
В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел (обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C).
((… (a n − 1 ⋅ b + a n − 2) ⋅ b + a n − 3) …) ⋅ b + a 0 . {\displaystyle ((\ldots (a_{n-1}\cdot b+a_{n-2})\cdot b+a_{n-3})\ldots)\cdot b+a_{0}.}Например:
101100 2 = = 1 · 2 5 + 0 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 0 · 2 0 = = 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = = 32 + 8 + 4 + 0 = 44 10
Перевод из десятичной системы счисления
Целая часть- Последовательно делить целую часть десятичного числа на основание, пока десятичное число не станет равно нулю.
- Полученные при делении остатки являются цифрами нужного числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
- Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
- Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.
44 10 {\displaystyle 44_{10}} переведём в двоичную систему:
44 делим на 2. частное 22, остаток 0 22 делим на 2. частное 11, остаток 0 11 делим на 2. частное 5, остаток 1 5 делим на 2. частное 2, остаток 1 2 делим на 2. частное 1, остаток 0 1 делим на 2. частное 0, остаток 1
Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу вверх получим число 101100 2 {\displaystyle 101100_{2}}
Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм.
Для восьмеричной - разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад). Преобразуем триады по таблице триад:
000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7
Для шестнадцатеричной - разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2 4 =16), в данном случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:
0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F
Преобразуем 101100 2 восьмеричная - 101 100 → 54 8 шестнадцатеричная - 0010 1100 → 2C 16
Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную
Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм-перевёртыш.
Для восьмеричной - преобразуем по таблице в триплеты
0 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111
Для шестнадцатеричной - преобразуем по таблице в квартеты
0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111
Преобразуем 54 8 → 101 100 2C 16 → 0010 1100
Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную
Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,011 2 будет выглядеть как 14,3 8 или C,6 16 .
Перевод из произвольной системы счисления в десятичную
Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,011 2 в десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:
0 , 011 = 0 ⋅ 2 − 1 + 1 ⋅ 2 − 2 + 1 ⋅ 2 − 3 = 0 + 0 , 25 + 0 , 125 = 0 , 375. {\displaystyle 0,011=0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=0+0,25+0,125=0,375.}Итак, число 1100,011 2 = 12,375 10 .
Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.
Для удобства перевода, целую и дробную части числа переводят отдельно, а результат потом конкатенируют.
Перевод из десятичной системы в произвольную
Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,625 10 в двоичную систему счисления.
Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 103 10 = 1100111 2 .
0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1. 0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0. 0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.
Итак, сверху вниз получаем число 101 2 . Поэтому 103,625 10 = 1100111,101 2
Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.
Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой - тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.
Вариации и обобщения
Запись рациональных чисел
Симметричные системы счисления
Симметричные (уравновешенные, знакоразрядные) системы счисления отличаются тем, что используют цифры не из множества { 0 , 1 , … , b − 1 } {\displaystyle \{0,1,\ldots ,b-1\}} , а из множества { 0 − (b − 1 2) , 1 − (b − 1 2) , … , (b − 1) − (b − 1 2) } {\displaystyle \left\{0-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),1-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),\ldots ,(b-1)-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right)\right\}} . Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы b {\displaystyle b} было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа. Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления - оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений.
Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle \{-1,0,1\}} . Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Сетунь ».
Отрицательные основания
Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые нега-позиционными :
- -2 - нега-двоичная система счисления
- -3 - нега-троичная система счисления
- -10 - нега-десятичная система счисления
Нецелочисленные основания
Иногда также рассматривают позиционные системы счисления с нецелочисленными основаниями: рациональными , иррациональными , трансцендентными .
Примерами таких систем счисления являются:
Комплексные основания
Основаниями позиционных систем счисления могут быть также комплексные числа. При этом цифры в них принимают значения из некоторого конечного множества , удовлетворяющего условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции непосредственно с представлениями чисел в этих системах счисления.
В частности, среди позиционных систем счисления с комплексными основаниями можно выделить двоичные, в которых используются лишь две цифры 0 и 1.
Примеры
Далее будем записывать позиционную систему счисления в следующем виде ⟨ ρ , A ⟩ {\displaystyle \langle \rho ,A\rangle } , где ρ {\displaystyle \rho } - основание системы счисления, а A - множество цифр. В частности, множество A может иметь вид:
Примерами систем счисления с комплексными основаниями являются (далее j - мнимая единица):
- ⟨ ρ = j R , B R ⟩ . {\displaystyle \langle \rho =j{\sqrt {R}},B_{R}\rangle .}
- ⟨ ρ = 2 e ± j π / 2 , B 2 ⟩ . {\displaystyle \langle \rho ={\sqrt {2}}e^{\pm j\pi /2},B_{2}\rangle .}
- ⟨ ρ = 2 e j π / 3 , { 0 , 1 , e 2 j π / 3 , e − 2 j π / 3 } ⟩ ; {\displaystyle \langle \rho =2e^{j\pi /3},\{0,1,e^{2j\pi /3},e^{-2j\pi /3}\}\rangle ;}
- ⟨ ρ = R , B R ⟩ , {\displaystyle \langle \rho ={\sqrt {R}},B_{R}\rangle ,} где φ = ± arccos (− β / 2 R) {\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /2{\sqrt {R}})}} , β < min { R , 2 R } {\displaystyle \beta <\min\{R,2{\sqrt {R}}\}} - целое положительное число, которое может принимать несколько значений при данном R ;
- ⟨ ρ = − R , A R 2 ⟩ , {\displaystyle \langle \rho =-R,A_{R}^{2}\rangle ,} где множество A R 2 {\displaystyle A_{R}^{2}} состоит из комплексных чисел вида r m = α m 1 + j α m 2 {\displaystyle r_{m}=\alpha _{m}^{1}+j\alpha _{m}^{2}} , а числа α m ∈ B R . {\displaystyle \alpha _{m}\in B_{R}.} Например: ⟨ − 2 , { 0 , 1 , j , 1 + j } ⟩ ; {\displaystyle \langle -2,\{0,1,j,1+j\}\rangle ;}
Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).
Система счисления:
- даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);
- даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);
- отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа .
Отдельная позиция в отображении числа называется разряд , значит, номер позиции - номер разряда .
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные .
восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.
Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …
Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.
Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.
Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a 1 , a 2 ,…,a n . При этом каждой цифре a 1 в записи числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S 1 .
Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a 1 , взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:
Сокращенная запись числа N S имеет вид:
При этой позиции цифр a 1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a 1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a i В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 10 0 , 10 1 , 10 2 , …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения: Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы. Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=2 3 , 16=2 4), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот. Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты a i =0, …, 7. Например, Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например, В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления. Таблица 1.
В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная двоично-кодированные системы счисления. Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101 2-8. Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например, 273,59 10 = 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10. Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например, 39C 16 =0011 1001 1100 2-16 При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=S k (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной. Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 68 8 в двоично-восьмеричной системе будет 62 8 =110 010 2-8 ; 6 2 это же число в десятичной системе будет; если теперь число 50 10 представить в двоичной системе, получим 50 10 =110 010 2 . Таким образом, двоичная и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (62 8) совпадает. Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам: Правило 1.
При равенстве p=s k , где k – целое положительное число (например, p=8=2 3 , k=3, s=2), в этом случае: Например, Правило
2.
При не выполнении равенства p=s k (где k – целое положительное число), в этом случае: Таким образом, 26 10 = 11010 2 . Таким образом, 191 10 = 277 8 . Например, число 0,31 10 перевести в двоичную систему счисления: При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления. Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЗВА УЧБОВОГО ЗАКЛАДУ ”
Разновидности систем счисления
”
Понятие системы счисления. Виды систем счисления
Система счисления
-- совокупность нескольких названий и знаков, позволяющая записать любое число и дать ему имя. Система счисления: · даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных); · даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); · отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Системы счисления подразделяются на: · Позиционные; · Непозиционные; · Смешанные. Позиционные системы счисления
Позиционная система счисления
-- это система, в которой значение каждой цифры зависит от ее числового эквивалента и от ее места (позиции) в числе, т.е. один и тот же символ (цифра) может принимать различные значения. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. Развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. Наиболее известной позиционной системой счисления является десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман. Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание или базис (n) естественной позиционной системы счисления -- это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе. Поэтому, возможно бесчисленное множество позиционных систем, т.к. за основание можно принять любое натуральное число n>1, образовав новую систему счисления. Когда представляют или записывают, некоторое число в позиционной системе счисления, размещают соответствующие цифры числа по отдельным нужным позициям, которые принято называть разрядами числа в данной позиционной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа и совпадает с его длиной. Общая система счисления может быть определена, как такая группировка целых и дробных чисел, при которой каждое из них представляется формулой: где x -- произвольное число, записанное в системе счисления с основанием n; символ ai -- коэффициент ряда, т.е. i-таю цифра записи числа; k, m -- количество целых и дробных разрядов соответственно. Каждая степень nk в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номера разряда). Номера разрядов в позиционной системе счисления отсчитываются в целой части влево от запятой, а в дробной -- вправо от запятой. Причем, нумерация разрядов начинается с 0. Величина основания позиционной системы счисления определяет ее название: для десятичной системы это будет 10, для восьмеричной -- 8, для двоичной -- 2 и т.д. Обычно вместо названия системы счисления используют термин "код числа". Например, под понятием двоичный код подразумевается число, представленное в двоичной системе счисления, под понятием десятичный код - в десятичной системе счисления и т.д. Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его n-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо: Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются: · 2 -- двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании); · 3 -- троичная (в троичных ЭВМ (например, «Сетунь»)); · 8 -- восьмеричная (используется в программировании, информатике); · 10 -- десятичная (используется повсеместно); · 12 -- двенадцатеричная (счёт дюжинами); · 16 -- шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике); · 60 -- шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты). В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа. Двоичная система счисления
-- позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах. В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b, например 0b101. Правила переводов
Перевод из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода целого числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо записать данное число в общем виде: anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0 Например: переведем число 12568 в десятичную систему счисления. 12568=1·83
+2·82
+5·81
+6·80
=1·512+2·64+5·8+6·1=68610. Перевод числа из десятичной системы счисления в другую систему
1) Делим данное число на основание той системы, в которую необходимо перевести число. 2) Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число. 3) Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания. 4) Выписываем остатки от деления в порядке от последнего к первому. Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную
1) Разбиваем число по три цифры на группы начиная с младшего разряда. Если не хватает до целой тройки цифр, то добавляем необходимое количество нулей слева. 2) Каждую полученную тройку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления. Двоичные триады Восьмеричные цифры 3) Дробную часть разбиваем на тройки вправо от запятой. Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
1) Разбиваем число по четыре цифры на группы начиная с младшего разряда. Если не хватает до целой четверки цифр, то добавляем необходимое количество нулей слева. 2) Каждую полученную четверку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления. 3) Дробную часть разбиваем на четверки вправо от запятой. Если не хватает цифр, то приписываем нули справа. Правило перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную
1) Заменяем каждую цифру данного восьмеричного числа соответствующим ей двоичным эквивалентом. 2) Если до полной тройки не хватает цифр, то в данной тройке добавляем недостающее количество нулей слева. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
1) Заменяем каждую цифру данного шестнадцатеричного числа соответствующим ей двоичным эквивалентом. 2) Если до полной четверки не хватает цифр, то в данной четверке добавляем недостающее количество нулей справа. Необычные позиционные системы счисления
Необычные счисления не находят широкого применения, однако они могут быть интересными с точки зрения теории. Среди необычных систем счисления можно выделить: счисление позиционный символический знак · системы счисления с ненатуральными основаниями o отрицательными, o иррациональными, o комплексными (напр.: 1 + i); · системы счисления с несколькими основаниями; o вложенными (двоично-десятичная, десятично-шестидесятеричная и др.) · системы счисления с нестандартными наборами цифр: с набором цифр, симметричным относительно нуля. Системы счисления с отрицательными основаниями
Отрицательные основания позволяют выражать отрицательные числа без введения дополнительного символа для знака. Для выражения чисел используется тот же набор цифр, что и для системы с равным по модулю натуральным основанием. Таким образом, нечётные разряды числа имеют отрицательный вес. Иррациональное число вида можно выразить в системе счисления с иррациональным основанием, употребив цифры. Системы счисления с комплексным основанием
Подобно системам с отрицательным основаниям, комплексные основания позволяют выражать комплексные числа. Для этого основание системы счисления берётся вида: удовлетворяющее условию -- количество цифр в наборе. Если цифры системы счисления с большим основанием представить числами в системе счисления с меньшим основанием, то получится особый составной род системы счисления. Хорошо известна десятично-шестидесятеричная система счисления, используемая для измерения времени -- часы, минуты и секунды, записанные десятичной системой здесь предстают в качестве разрядов шестидесятеричной системы счисления. Эта система пришла из Вавилона, где широко использовалась для записи чисел шестидесятеричная система, основанная всего на трёх клинописных символах: · вертикльный клин -- единица разряда; · уголок из клиньев -- десяток разряда; · наклонный клин -- нуль, пустой разряд; Двоично-десятичная система счисления используется в вычислительной технике. Двоичные разряды группируются по четыре, где каждая четвёрка (тетрада, ниббл) кодирует одну десятичную цифру. Это позволяет работать с приборами, имеющими десятичную индикацию и ввод без преобразования систем счисления. Альтернативным способом записи отрицательных чисел без использования знака минуса (кроме отрицательных оснований) является использование цифр с отрицательным весом. При этом не требуется увеличения количества различных цифр для записи числа -- вместо набора можно использовать любой набор вида. Замечательным в этом отношении является использование симметричного набора цифр. Если взять систему счисления с нечётным основанием вида 2p
+ 1, то набор цифр будет иметь вид. Такой подход нашёл применение в троичных ЭВМ (например, «Сетунь»). Смешанная система счисления
Смешанная система счисления
является обобщением n-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел, и каждое число в ней представляется как линейная комбинация: В зависимости от вида ni как функции смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными, факториальными, фибоначчиевыми и т. п. Когда для некоторого n, смешанная система счисления совпадает с показательной n-ричной системой счисления. Самый яркий пример смешанной системы счисления -- это представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «d дней, h часов, m минут, s секунд» соответствует значению Непозиционные системы счисления
Непозиционная система счисления
-- это система, для которой значение символа, т.е. цифры, не зависит от его положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. Биномиальная система счисления
В биномиальной системе счисления число x представляется в виде суммы биномиальных коэффициентов: При всяком фиксированном значении n каждое натуральное число представляется уникальным образом. Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором попарно взаимно простых модулей
с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов, где СОК гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в . Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Исторические системы счисления
Единичная система счисления
Хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком -- так возникают прообразы будущих цифр. Пятеричная система счисления (Счёт на пятки
м)
Существовал в России. Применялся в народе как минимум до конца XVIII -- начала XIX вв. Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи. Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы. Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы: I обозначает 1, Римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё. Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом 17 19 сразу следовало число 1 0 0. Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку 1 0 0 = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки). Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I--II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков -- кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы, так и не числовых записей в двоичной системе кодирования. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись. 1. А. Г. Цыпкин. "Справочник по математике для средних учебных заведений" Размещено на Allbest.ru Понятие и математическое содержание систем счисления, их разновидности и сферы применения. Отличительные признаки и особенности позиционных и непозиционных, двоичных и десятичных систем счисления. Порядок перевода чисел из одной системы в другую. презентация , добавлен 10.11.2010 Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления. реферат , добавлен 09.07.2009 Исследование истории систем счисления. Описание единичной и двоичной систем счисления, древнегреческой, славянской, римской и вавилонской поместной нумерации. Анализ двоичного кодирования в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. контрольная работа , добавлен 04.11.2013 Совокупность приемов и правил записи и чтения чисел. Определение понятий: система счисления, цифра, число, разряд. Классификация и определение основания систем счисления. Разница между числом и цифрой, позиционной и непозиционной системами счисления. презентация , добавлен 15.04.2015 Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики. курсовая работа , добавлен 29.04.2017 Математическая теория чисел. Понятие систем счисления. Применения двоичной системы счисления. Компьютерная техника и информационные технологии. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование. Достоинства и недостатки двоичной системы счисления. реферат , добавлен 25.12.2014 История развития систем счисления. Непозиционная, позиционная и десятичная система счисления. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях. Двоичное кодирование информации в компьютере. Построение двоичных кодов. курсовая работа , добавлен 21.06.2010 Ознакомление с записью чисел в алфавитной системе счисления. Особенности установления числовых значений букв у славянских народов. Рассмотрение записи больших чисел в славянской системе счисления. Обозначение "тем", "легионов", "леордов" и "колод". презентация , добавлен 30.09.2012 Определения системы счисления, числа, цифры, алфавита. Типы систем счисления. Плюсы и минусы двоичных кодов. Перевод шестнадцатеричной системы в восьмеричную и разбитие ее на тетрады и триады. Решение задачи Баше методом троичной уравновешенной системы. презентация , добавлен 20.06.2011 Сущность двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления, их отличительные черты и взаимосвязь. Пример алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую. Составление таблицы истинности и логической схемы для заданных логических функций. Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись". Исходное число
записано в
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
-ой системе счисления
. Хочу получить запись числа в
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
-ой системе счисления
. Получить запись Выполнено переводов: 1785090
Также может быть интересно:
Системы счисления делятся на два типа: позиционные
и не позиционные
. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа. Пример 1
. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля: Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа. Пример 2
. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо: Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 . Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления. Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры: 1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления. 2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления. Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно. Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего. 3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления. Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления. Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью
. Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат. 4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.десятичная
двоичная
восьмеричная
шестнадцатеричная
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
старший разряд
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Системы счисления с иррациональным основанием
Системы основания с вложенными основаниями
Нестандартные наборы цифр, наборы, симметричные относительно нуля
Система остаточных классов (СОК)
Древнеегипетская система счисления
Алфавитные системы счисления
Римская система счисления
Система счисления майя
Кипу инков
Список используемой литературы
Подобные документы
Системы счисления
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2